COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Función compuesta

Dadas dos funciones f(x) y g(x), se llama función compuesta de f con g, y escribimos g o f, a aquella función en la que la imagen de un número real x es el resultado de actuar sucesivamente sobre x primero f y después g.

Para hallar la expresión analítica de la función compuesta de dos funciones se aplica el resultado anterior:  (gof) (x) = f[g(x)]. Ejemplo: Sean las funciones f(x) = 3x - 2 y g(x) = 2x + 5; entonces la función compuesta de f con g es (gof)(x) = g[f(x)] = g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5 = 6x - 4 + 5 = 6x + 1. En el razonamiento anterior se ha tenido en cuenta que si g(x) = 2x + 5, y por lo tanto, g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5. Propiedades de la composición ASOCIATIVA: Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que ho(gof) = (hog)of. CONMUTATIVA: La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir, gof y fog son en general dos funciones distintas. En el ejemplo anterior (gof)(x) =6x + 1, sin embargo, (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x + 5) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13, luego las funciones gof y fog son distintas. FUNCIÓN IDENTIDAD: La función i(x) = a que hace corresponder a cada número real con él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado f(x). Además i(x) conmuta con todas las funciones, por tanto i(x) es el elemento neutro de la composición de funciones.

Recíproca o inversa

Consideremos la función y = 2x - 3, si nos preguntamos ¿cuál es el origen de 5?, es decir, ¿qué número real tiene por imagen 5? Para obtener la respuesta buscaremos un x tal que 2x - 3 = 5, 2x = 5 + 3, 2x = 8,  x = 4; luego 4 es el origen de 5.. También podemos preguntarnos cual es el origen de un número real y cualquiera. Procediendo como en el caso anterior, buscamos el número o los números x tales que 2x - 3 = y, luego 2x = y + 3, x = . La última expresión relaciona cada número real y con su origen x, por tanto establece una relación de dependencia entre un número real y otro x, es decir, es la expresión de una función  en la que la variable independiente está representada por y, y la dependiente por x.
Como habitualmente los papeles de x e y están cambiados podemos cambiar la expresión anterior por y = , que nos expresa la relación de dependencia de número real x con su origen y. Se denomina función recíproca o inversa de una función f(x) a aquella función que denotamos por f -1(x) tal que al componerla con f(x) da de resultado la función identidad i(x). Por tanto f -1(x) es aquella que al actuar sobre un número real nos da por resultado el origen de ese número real a través de f(x). Teniendo en cuenta lo anterior si deseamos calcular f -1 (x) se procede a dar los siguientes pasos: 1) Se despeja x en la expresión de la función y = f(x). 2) Se intercambian x por y e y por x. Ejemplo: y =, elevando los dos miembros al cuadrado se obtiene y2 = x + 4, x = y2 - 4, es decir, y = x2 - 4 es la expresión de la inversa o recíproca de f(x); f -1(x) = x2 - x.
Algunas consideraciones respecto a f -1(x): a) f(x) y f -1(x) conmutan respecto de la composición, es decir, f -1 o f = f o f -1. b) f -1(x) se puede calcular siempre, aunque sólo si f(x) es inyectiva (no hay dos números reales con la misma imagen) entonces f -1(x) es una función. Si f(x) no es inyectiva f -1(x) es una correspondencia. c) Las gráficas de f(x) y f -1(x) son simétricas respecto de la recta y = x, bisectriz de los cuadrantes 1º y 3º (ver la gráfica de al lado).