Orden de números reales 2do Parcial 1er Quimestre

Orden de Números reales
Anteriormente hemos visto que el cuerpo de los números racionales ℚ es un cuerpo totalmente ordenado. Ahora vamos a ver que ℝ también es un cuerpo totalmente ordenado, respetando el  orden de ℚ.

Nomenclatura
Llamaremos números reales positivos a todos los números reales que tienen una representación sobre la recta a la derecha de cero, y llamaremos números reales negativos a todos los números reales que tienen una representación sobre la recta a la izquierda de cero.

De ahora en adelante representaremos por:

R+el conjunto de los números reales positivos incluido el cero.

R− el conjunto de los números reales negativos incluido el cero.

R∗ el conjunto de los números reales excluido el cero.

R∗+ el conjunto de los números reales positivos excluido el cero.

R∗− el conjunto de los números reales negativos excluido el cero.

Definición de orden
Dados dos números reales cualesquiera a y b, se dice que a es menor o igual que b, y se escribe a ≤ b si se verifica que b – a ∈ ℝ +, es decir:

• La relación a ≤ b se escribe también b ≥ a y se lee “b mayor o igual que a”
• Cuando a ≤ b y a ≠ b, s escribe a < b y se lee “a menor estrictamente que b”
• La relación a< b se escribe también b > a y se lee “b mayor estrictamente que a”

Por ejemplo, si a = 2,2568 y b = 2,2569, se verifica que a ≤ b ya que b – a ∈ ℝ +. Como existe una biyección entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los puntos de la recta r, esta biyección transporta la estructura de orden de ℝ a la recta.

De esta forma, dados dos puntos A y B de la recta, que son abscisas de los números reales a y b, respectivamente, se dice que A precede a B y se se escribe A≤B si a es menor o igual  a b, es decir:

Ejemplo:

Ordenación de los números reales

A≤B, ya que sus abscisas a = -2 y b = 1 verifican la relación -2≤1

Esta relación es de orden total en ℝ y en consecuencia el par (ℝ , ≤) es un cuerpo totalmente ordenado.

La relación “menor o igual” es un orden total en ℝ

Por cumplirse las siguientes propiedades:

Reflexiva: Para todo número real a, se cumple que a ≤ a ya que a – a = 0 ∈ ℝ +.

Antisimétrica: Si a ≤ b  y   b ≤ a, entonces se cumple que a = b:

a≤b⇒b−a∈R+yb≤a⇒a−b∈R+⎫⎭⎬⎪⎪⇒b−a=a−b=0⇒a=b

Transitiva: Si a ≤ b   y  b ≤ c, entonces se cumple que a ≤ c:

a≤b⇒b−a∈R+yb≤c⇒c−b∈R+⎫⎭⎬⎪⎪⇒b−a+c−b=c−a∈R+⇒a≤c

Entonces también se cumple la siguiente propiedad:

Tricotomía: Para cualquier a, b  se verifica que  a ≤ b  o   b ≤ a.

Esta propiedad también se llama propiedad de orden total y también se puede formular de la siguiente forma:

a<b    o   b<a    o    a =b

En consecuencia, el conjunto de los números reales con la ordenación ≤ es un conjunto totalmente ordenado.

Análogamente, el conjunto de puntos de la recta r con la ordenación ≤ es un conjunto totalmente ordenado.

Propiedades de las operaciones respecto al orden de ℝ

Las operaciones de adición y multiplicación de ℝ tienen las siguientes propiedades con respecto al orden (≤):

Propiedades del orden respecto de la adición

Sean a, b y c tres números reales, entonces.

En efecto:

a≤b⇔b−a∈R+

b−a∈R+⇔(b+c)−(a+c)∈R+ Por definición de orden en R sumando y restando c.

(b+c)−(a+c)∈R+⇔a+c≤b+c Por definición de orden en R.

Ejemplo:  1 ≤ 2  ⇔ 1 + 3 ≤ 2 + 3

Análogamente se verifica: